C04 : Modéliser la cinématique des mécanismes

Cours

Exploitation du schéma cinématique : la loi entrée/sortie

Définition

Fondamental : loi entrée/sortie

Une loi entrée-sortie géométrique est une relation entre les paramètres de position et/ou d'orientation de la classe d'équivalence recevant le mouvement d'entrée et ceux de la classe d'équivalence communiquant le mouvement de sortie.

Selon le type de chaîne cinématique de solides rencontré, différentes méthodes peuvent être employées :

Exemple d'une chaîne cinématique ouverte : bras robot

On considère le modèle plan simplifié dans lequel la pince de robot n'est animée que par deux mouvements de rotation paramétrés par et .

Chaque bras du robot est de longueur . On utilise le système de coordonnées cartésiennes pour positionner le point en bout de chaîne dans le repère . Ainsi

→ Relation directe : le modèle géométrique direct permet d'exprimer les paramètres de sortie et en fonction des paramètres d'entrée et .

D'après la relation de Chasles : .

→ Relation indirecte : le modèle géométrique indirect permet d'exprimer les paramètres d'entrée et en fonction des paramètres de sortie et .

On part de la relation directe :

La suite du calcul se déroule en deux étapes :

Dans un premier temps on calcul pour faire apparaître des termes du type et obtenir une expression indépendante de :

Et comme , on trouve
Soit

Dans un second temps, on calcul le rapport entre les composantes et :

Conclusion : de et , on déduit :

Exemple d'une chaîne cinématique fermée : micromoteur de modélisme

Hypothèse simplificatrice : problème plan

On suppose pour cette étude que le problème est plan, dans le plan : .

On admettra que dans ces conditions, la liaison pivot glissant d'axe entre le piston et la bielle soit simplifiée en une liaison pivot glissant d'axe .

L'hypothèse du problème plan permet de simplifier les torseurs cinématiques des liaisons suivantes :

Liaison sphérique de centre A entre la bielle et le vilebrequin :

Liaison pivot glissant d'axe entre le piston et le carter :

Liaison pivot glissant d'axe entre le piston et la bielle :

Fermeture géométrique

paramètre d'entrée : position linéaire du piston

paramètre de sortie : position angulaire du vilebrequin

Relation de fermeture géométrique :

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=\vec 0 \quad \text{soit : } \quad R \, \vec x_1 + L \, \vec y_2 - y \, \vec y_0 = \vec 0$

On projette cette expression :

Pour obtenir la loi entrée sortie, il faut relier les paramètres d'entrée et de sortie en éliminant le paramètre . Une méthode efficace consiste à utiliser le fait que :

$\left \{ \begin{array}{ l} (1) \Rightarrow (L \sin\alpha)^2 = (R \cos\theta)^2 \\ (2) \Rightarrow (L \cos\alpha)^2 = (y -R \sin\theta)^2 \end{array} \right . \quad \Rightarrow \quad L^2=(y -R \sin\theta)^2 +(R \cos\theta)^2$

d'où la loi entrée/sortie géométrique : , valable pour .

Connaissant la longueur de la bielle et le rayon du vilebrequin (=excentrique) , on peut ainsi tracer l'évolution du paramètre pour un tour de vilebrequin :

Fermeture cinématique

Traduction de la fermeture cinématique de la chaîne :

$\left\{ \mathcal V_{3/2} \right\}+\left\{ \mathcal V_{2/1} \right\}+\left\{ \mathcal V_{1/0} \right\}+\left\{ \mathcal V_{0/3} \right\}=\left\{ \vphantom{V_{0/3} } 0 \right\}$

Pour pouvoir additionner des torseurs, ceux-ci doivent être réduits au même point, par exemple au point A.

En tenant compte de l'hypothèse du problème plan dans le plan , on obtient :

car
et

Ainsi la fermeture cinématique nous donne deux équations vectorielles :

par projection de la relation de composition des vecteurs taux de rotation sur :

par projection de la relation de composition des vecteurs vitesse :

On peut constater qu'il s'agit des deux équations scalaires obtenues par dérivation des équations de la fermeture géométrique (équations et du paragraphe ).

Remarque :

Les équations obtenues par fermeture cinématique correspondent aux dérivées des équations obtenues par fermeture géométrique. Les deux approches amènent au même résultat mais la dérivation de la fermeture géométrique conduit généralement au résultat de façon plus efficace.

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